크로스 플레이(혹은 크로스 플랫폼)에 대한 제 이해가 잘못된 것인가요?

디아블로4를 PS4로 구입을 해서 플레이를 하다가 아무래도 PC가 편할 것 같아 PC로 설치하려고 하니 설치가 안됩니다.
문의를 보냈더니 '진척도 연동은 되지만 PC에서 플레이를 하려면 PC버전을 구입해야 한다’라고 답을 받았습니다.
통상적으로 **‘서로 다른 플랫폼에서 크로스 플레이가 가능하다’**라는 말을 들으면

‘서로 다른 플랫폼에서 각각 게임을 구매해야 크로스 플레이가 가능하다’

라는 생각들이 드시는지요?
모바일과 PC 크로스 플레이가 가능한 게임들은 각 플랫폼 별로 게임을 구매해야 플레이가 가능한가요? 대개 모바일 게임은 설치 및 실행은 무료인 경우가 많아서 별 문제가 되지 않는 것인가요?